مبرهنة غودل: كيف فتح المنطق باب اللاكمال على نفسه!

 إن تقديم شرح دقيق لنظرية غودل باللاكمال يحجب فهمها عن كل من ليس له معرفة بالمنطق، لذا فقد آثرتُ أن أشرح النظرية بلغة حاسوبية بغية إيصال فكرة مبسطة عنها لأكبر عدد ممكن من القراء.

لو تخيلنا جهاز حاسوب استثنائي سنطلق عليه إسم “أوركال”. وكما هي ألية عمل الحاسوب العادي فإن أوركال يستلم البيانات “مُدخلات” ويقوم بمعالجتها ليُخرجها لنا على شكل معلومات، ووفق هذه العملية فإن البيانات المتشابهة تُنتج نفس المخرجات بكل مرة يتم إدخالها لأوركال. سنفترض إن المُدخلات والمُخرجات لأوركال هي عبارة عن أعداد صحيحة وإن كل ما يقوم به أوركال هو تنفيذ العمليات الحسابية الإعتيادية مثل الجمع والضرب عندما يلزم الأمر لحين اتمام العملية. وبخلاف الحواسيب العادية فإن أوركال يمتلك ما يكفي من الطاقة لتجعله يعمل لوقت غير محدود ومن الكفاءة ما يمكنه من حل أي مسألة رياضية يتم عرضها عليه، فهو لن يتوقف عن العمل إلا حين يجد حلاً للمسألة المطروحة عليه حتى لو استلزم ذلك مليون سنة.

 الآن لنأخذ هذا المثال البسيط على طريقة عمل أوركال ولنذكر قبله بأن العدد الأولي في الرياضيات هو العدد الموجب الذي لايقبل القسمة بدون باقي إلا على نفسه وعلى الواحد الصحيح. الآن ليكن لدينا أي عدد موجب (سنسميه N) لو تم سؤال أوركال هل إن N عدد أولي أم لا؟ فكيف سيعرف ذلك؟ سيقوم أوركال بمحاولة تقسيم N على كل الأعداد الموجبة التي تكون أصغر من N. لو لم يجد عدداً واحداً أصغر من N بحيث يقبل القسمة عليه بدون باقي فإن N عدد أولي*.

ما تقوله نظرية غودل، إنه على الرغم من بساطة فكرة أوركال ومنطقيتها فإن حاسوب خارق بإمكانات غير محدودة مثل أوركال سيبقى عاجزاً عن حل كل الإسئلة البسيطة على شاكلة المثال في الفقرة أعلاه ولا بد أن يصطدم بمسألة واضحة ومحددة مع ذلك لايمكن أن يصدر عليها حكم بإنها صحيحة أو خاطئة. هذه المسألة تسمى (undecidable) وهي مسائل يكون إصدار الحكم بصحتها وخطئها غاية في التعقيد. ليس عليكم تحمل عناء البحث عنها فقد ضمن لكم غودل وجودها بعالم الأرقام.

 ماذا إن حاولنا الإستعانة بخبير لينتج لنا نسخة مطورة عن اوركال تستطيع استخدام عمليات رياضية أكثر تعقيد لتحل المسألة غير القابلة للحل التي اصطدم بها أوركال؟! ربما ينجح الخبير بانتاج سوبر اوركال لحل المسألة غير القابلة للحل عند أوركال لكن مبرهنة غودل تخبرنا إن سوبر أوركال سيصطدم بمسألة (undecidable) وحتى لو استعنا بخبراء لإنتاج سوبر سوبر أوركال فإن المسائل (undecidable) تبقى تلاحق كل جيل من أوركال فلا مفر من عدم اكتمال غودل.

 إذا كنت ترى إن الكلام أعلاه غير منطقي ولايمكن الركون إليه فإن صدمة المجتمع الرياضي في 1931 كانت أكبر كثيراً من صدمتك الآن. لم يستخدم غودل لغة الحاسوب ببرهنة نظريته إنما استخدم نظام رياضياتي محدد المعالم وهو كان يأمل بإن نتائجه مرتبطة بنظامه الرياضي دون غيره لكن علماء الجيل اللاحق أثبتوا إن لاكمال غودل لايعتمد على نظام رياضي دون اخر. ومن هؤلاء العلماء ستيفن س. كلين، أميل بوست وألن تيورنغ.

رغم قدمها الزمني إلا إن نظرية غودل وأثارها لاتزال تشغل الكثيرينوليس عليكم إلا استخدام محركات البحث لتكتشفوا مئات المواد والمقالات عنها. للإطلاع على برهان مفصل للنظرية أنصح بـ Godel’s Proof لـ Ernest Nagel and James R. Newman والمنشور عام 1958 والذي نشرته مطبعة جامعة نيويورك بطبعة ورقية عام 1983.

 ——————–

ملاحظة: غالبا ما تُجند مبرهنة غودل لأهداف أيديلوجية بعيدة عن مجال النظرية (المنطق الرياضي) ويتم الدفع بغير علم ولاتدبر إلى أن عدم اكتمال المنطق يعني إن الكون متعارض ولامنطقي. الحقيقة إن من يتعامل مع المنطق الرياضي يعرف جيداً إن الكمال رياضياً هو القدرة على برهنة كل الحقائق من خلال نظام بديهيات وهو يختلف عن عدم الإتساق الذي يعني تعارض بديهيات وحقائق النظام بعضها مع بعض. لذا فإن إدعاء إن العالم غير صالح للفهم من قبل البشر بناء على مبرهنة غودل هو كمثل الاعتماد على مبدأ اللايقين للقول إن العالم غير قابل للفهم مع إن اللايقين ومبرهنة غودل ذاتهما خطوة بطريق فهم كوننا بدقة. (المترجم)

* بالإمكان الإعتماد على اختبار اقصر لمعرفة إذا ما كان العدد اولي أم لا، وهو بقسمته على جميع الأعداد التي تكون أصغر من جذره التربيعي فقط وليس كل الأعداد التي تكون أصغر منه.

——————–

المقال بالغة الإنكليزية: http://on.iqtp.org/10aa5