الفركتلات .. عالمٌ من البساطة شديدة التعقيد! (2 من 5)

ربما ستجدون في هذه الحلقة الأكثر تعقيداً وصعوبة لإنها ستحتوي شرحاً لبعض التعابير المستخدمة في الهندسة الفركتلية والخواص التي تتمتع بها الفركتلات فقبل محاولة شرح ماذا تعني الفركتلات، علينا توضيح بعض المصطلحات التي استجدت في قواميس العلوم بسبب هذه المعرفة حديثة النشأة.
عند تصفحك لأي كتاب عن الفركتلات سوف لن تنهي صفحته الأولى قبل أن تصادف كلمة “التشابه الذاتي” (self-similarity). التشابه الذاتي يعني ببساطة إن كل شكل فكتلي قائم على تكرار (Iteration) لشكل معين وأنت عند نظرك بأي مكان للشكل الرئيسي ستجد نفس الشكل الجزئي في أي مكان أخر. بإمكانك أن تراقب هذا التقريب المستمر لجزء من منحني فان كوخ الذي سلف ذكره في الحلقة الأولى (شاهده هنا)، أو بإمكانك أن تتأمل ورقة السرخس وكيف إن كل وريقة منها لاتختلف مطلقاً عن نظيراتها. التشابه الذاتي صفة تتصف بها الأشكال الفركتلية وهي السبب الرئيسي بوصفها بأنها بسيطة جداً لكنها شديدة التعقيد. بالإمكان توليد هذا التشابه الذاتي من خلال تنفيذ بضع معادلات بتكرار وبتغذية راجعة على نقطة في مستوي لترى بعد عدد كافي من التكرارات إنك بالفعل قد حصلت على شكل فركتلي متماثل ذاتياً.هناك ميزة أخرى غير التشابه الذاتي النابع من التكرارت، الفركتلات أشكال متكررة (Recursive). ماذا نعني بذلك؟ جرب أن تقف بين مرأتين متقابلتين وشاهد العدد اللانهائي لصورتك يمتد إلى المالانهاية. إنها صورة مكررة لنفس الشكل! وهذا ما تراه في الصورة المتحركة لمنحني فان كوخ التي أوردناها قبل قليل.

المفهوم الأكثر أهمية الذي يجب أن تعرفه عن الهندسة الفكتلية هو ما يعرف بالبعد الفركتلي أو الكسوري (Fractal Dimension). نحن معتادون على التعامل مع أشكال ذات ثلاث أبعاد او بعدين. ورياضياً بإمكاننا التعامل مع أشكال لها أربعة أبعاد أو أكثر حتى نصل لبُنى رياضية لانهائية الأبعاد. كل هذا ونحن لدينا تصور عن عدد صحيح للأبعاد فماذا يعني البعد الكسوري أو فركتلي؟! ماذا يعني شكل ببعد كسوري 1.6؟
البعد الفركتلي هو ليس بعداً بمفهومنا اليومي عن الأبعاد إنما هو مقياس لتحديد مدى التعقيد الذي تتمتع به الأشكال الفركتلية، يتم حساب قيمة البعد الكسوري بمعادلة صغيرة تعتمد على عدد التقسيمات في الأشكال وعدد لانهائي للتكرارات، على سبيل المثال البعد الفركتلي لمنحني فان كوخ يبلغ 1.262 . وبنفس الوقت البعد الفركتلي للخط المستقيم يبلغ 1 صحيح. من هنا نجد مقياس لتمييز الأشكال الفركتلية عن الأشكال الإعتيادية وهو قيمة البعد الفركتلي فإذا كان عدد صحيح فإن الشكل إعتيادي بينما لو كان الشكل فركتلياً فسيكون بعده الفكرتلي عدداً كسرياً.
بعد كل ما تقدم فإن الفركتلات هي أشكال هندسية تتصف بالتشابه الذاتي الناتج عن تكرار لعمليات رياضية معينة. ورغم ذلك هي تمتلك من التعقيد والغنى الشيء الكثير. بعد هذه الجولة المملة في مصطلحات والتوصيفات الفركتلية بإمكاننا أن نبحر بأمان ببحرنا الغريب هذا. تابعونا في الحلقات القادمة لمزيد من الأشكال والمفارقات الرائعة.