الفركتلات .. عالمٌ من البساطة شديدة التعقيد! (3 من 5)

ارتبطت الفركتلات بشكل هندسي غاية بالشهرة هو “مجموعة ماندلبورت(1)” (Mandelbrot Set). والتي سُميت على إسم بنوا ماندلبورت سالف الذكر في الحلقة الأولى، أصبحت مجموعة ماندلبورت تُذكر أينما ذُكرت الفركتلات وتجدها بكل كتاب أو موقع أنترنت يتناول الفركتلات ولو من بعيد. لكن ليس هذا الشكل الغني والمثير هو كل ما بحوزة الهندسة الفركتلية لتُبهرنا به.
ذكرنا في الحلقة الثانية ورقة السرخس وكيف أنها شكل فركتلي لكنه بنمط تكراري محدود(2). وكما هو أمر ورقة السرخس هناك الغلاف الصدفي للحلزون وبلورة ندفة الثلج التي مرت بنا في الحلقة السابقة(3). كل هذه الأمثلة تبين لنا وجود الأشكال الفركتلية في الطبيعة كذلك، وليس فقط في ثوابت المعادلة التربيعية التي تشكل لنا مجموعة ماندلبورت.جمال الأشكال الفركتلية الأخّاذ حفز فناني النافجو والأفارقة الأوائل على تقليدها ومحاكاتها في الأعمال الفنية وتصميم المدن لكنهم بكل تأكيد لم يستطيعوا الإستمرار بالتكرارات إلا بشكل محدود ضيق نتيجة محدودية المواد. كما لاحظ هذا النمط التكراري ليوناردو دافينشي في غصون الأشجار عندما تنمو وتتفرع. وفي عام 1820 رسم الفنان الياباني كاتسوشيكا هوكوساي (Katsushika Hokusai) اللوحة الشهيرة “موجة كاناغاوا الكبرى” (The Great Wave Off Kanagawa) وهي لوحة لموجة عملاقة يظهر خلفها جبل فوجي(4)، حيث تظهر الأنماط التكرارية بصورة جلية في شكل الموجة.

بعد أن أظهرت الطبيعة لنا الفركتلات وبعد أن أبدع الفنانون بمحاكاة الأشكال الفركتلية، جاء الدور أخيراً على علماء الرياضيات ليشرحوا لنا كيف تتكون. حيث أبدع غاتسون جوليا (Gaston Julia) فكرة استخدام حلقات التغذية الراجعة لتوليد أشكال تكرارية في بدايات القرن العشرين. وكان قبلها لجورج كانتور (Georg Cantor) أن يدرس خصائص المجاميع التي تتمتع بتكرار وتشابه ذاتي في حدود العام 1880. وفي العام 1904 وكما مر بنا سابقاً قدم فان كوخ مفهوم المنحني اللانهائي باستخدامه لنفس أسلوب جورج كانتور ولكن مع خط متصل وليس كما هي مجاميع جورج كانتور متناثرة ومبعثرة. وبالتأكيد كان ريتشاردسون قد سبق فان كوخ بمحاولته لقياس السواحل الإنكليزية كما مر بنا.

كل ما تقدم لم يكن ليخرج من حدود الرياضيات المجردة إلا بوجود آلة يمكنها أن تقوم بالعديد من الحسابات المعقدة بسرعة معقولة. وهذا ما وفرته الحواسيب المتطورة التي بدأت بالظهور ليتمكن الرياضيين بعد طول عناء أن يُظهروا للجمهور الجمال الذي كانوا يتحسسونه بعقولهم، هذه المرة على شكل رسوم أخاذة كما هي مجموعة ماندلبورت.
في الحلقة القادمة سنرى كيف للرياضيات أن تخلق لنا جمالاً تراه الأعين! انتظرونا.

===========
(1) مجموعة ماندلبروت عبارة عن شكل هندسي مزغرف استخدمناه في تصميمنا للبوستر المرفق مع الحلقتين الأولى والثانية من السلسلة تجدها في الرابط الخاص بالحلقات الكاملة مع المصادر أدناه
شاهد مجموعة ماندلبورت: هنا
(2) شاهد فركتلية ورقة السرخس: هنا
(3) شاهد فركتلية ندفة ثلج فان كوخ: هنا
(4) لمزيد حول اللوحة: هنا