السعي وراء المجهول .. معادلات أيان ستيورت التي غيرت العالم

 

صيغتها مبينة في البوستر المرفق وتعني إنه في المثلث قائم الزاوية مساحة المربع المنشأ على الوتر يساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الأخرين. وتنسب هذه المعادلة إلى فيثاغورس بينما ورد أول برهان لها في كتاب اقليدس الشهير “الأصول” لكن هناك دلائل تدل على إن إقليدس لم يكن صاحب أول برهان لها إنما فيثاغورس. كما يُشار إلى أن مبرهنة فيثاغورس تبقى صحيحة إذا اخذنا بنظر الإعتبار إنشاء أشكال هندسية أخرى على أضلاع المثلث قائم الزاوية. فمثلاً مساحة نصف الدائرة (أو الدائرة) التي يكون قطرها الوتر تساوي مجموع مساحتي أنصاف الدوائر (أو الدوائر) التي يكون أوتارها الضلعين الأخرين في المثلث. وكذا الأمر لو بدلنا أنصاف الدائرة بمضلع أو مثلث أو ما شأت الأشكال.

الجميل في الأمر إن معادلة فيثاغورس هذه عصفت بأعظم “عقيدة” عند أتباع فيثاغورس، وهي إن أي عدد بالإمكان كتابته على شكل كسر من بسط ومقام (لايوجد عدد غير نسبي) فلو أخذت مثلث قائم الزاوية طول كلا ضلعيه 1 سيكون وتره هو الجذر التربيعي ل2 وكان من السهولة بمكان في زمن فيثاغورس أن تشبت رياضياً إن الجذر التربيعي لل2 لن تستطيع كتابته على شكل بسط ومقام.

لمعادلة فيثاغورس وجود في التراث القديم فالحبل الفرعوني ذو الثلاث عشر عقدة (12 فاصلة متساوية في القياس) كان يستخدم لأيجاد زاوية قائمة حيث يقسم إلى 3،4،5 فيتكون لديك مثلث قائم الزاوية. كما إن لمعادلة فيثاغورس استخدامات في نظام تحديد المواقع (GPS) حيث يستخدم التثليث لتحديد الموقع ورسم الخرائط والمسح الدقيق.

طورها بارون مارشيستون جون نابير (1550-1617) في محاولة لتبسيط العمليات الرياضية المعقدة باستخدامها، حيث تخلص اللوغارتمات الرياضياتيين من عمليات الضرب والرفع لأسس كبيرة من خلال تحويلها لعمليات جمع، أساس عمل اللوغارتمات هو بعكس عملية الرفع للأس واستغلال الخاصية (عند الضرب تجمع الأسس للأساسات المتشابهة) وبتحويل الأس للوغارتم تصبح العملية لوغارتم حاصل ضرب عددين يساوي مجموع لوغارتمات العددين كل على حده إذا كانت الأساسات متشابهة، ماذا نعني بهذه العملية؟ لو اخذنا الأساس هو العدد 2 ورفعناه مرة للأس 1 ومرة للأس 2 سنحصل على 2 و 4 على التوالي، هذا يعني إن لوغارتم ال2 للأساس 2 هو 1 ولوغارتم ال4 للأساس 2 هو 2، الآن لو وددت أن تضرب 2في 4 فعليك أن تجمع لوغارتماتها فتحصل على 1+2=3 ثم ترفع الأساس 2 للأس 3 لتحصل على ناتج الضرب وهو 8، من هذا المثال البسيط تظهر البساطة التي تسبغها اللوغارتمات على الحساب عند التعامل مع أرقام كبيرة خصوصاً قبل اكتشاف الحاسبات فائقة السرعة. ساهمت اللوغارتمات بفهمنا للكون وحركة الكواكب لكن أهميتها خبت بتطور الحواسيب، فيما لاتزال تقدم مساعدة بفهمنا لظواهر مثل الإضمحلال الإشعاعي.

جرت العادة على تقديم التفاضل على التكامل عند الحديث عنهما أو حتى دراستهما، بل في الكتب المنهجية اليوم يُعرف التكامل على إنه عملية معكوسة لعملية التفاضل. لكن تاريخياً فإن حساب التكامل سبق التفاضل بحوالي 18 عشر قرناً، ففيما كانت أول محاولات لحساب مساحات الأشكال (التكامل) قام بها أرخميدس بحدود القرن الثالث قبل الميلاد، لم يتطرق أحد للتفاضل قبل فيرما (القرن الخامس عشر) بمحاولاته لحساب نقاط الإنقلاب. لكن النظرية المتكاملة للتفاضل والتكامل جرى تطويرها وتوضيح العلاقة بينهما على يد كل من الأسطورة إسحاق نيوتن وغوتفيرد ليبنز. وحدثت بينهما خلافات حول الأسبقية لتتم تسوية الأمر وقتها بالإعتراف لنيوتن بالأسبقية مع حفظ حق ليبنز باعتباره توصل للفكرة بمعزل عن نيوتن وسبقه لنشرها، والنظرية المستخدمة اليوم مزيج من أفكار العبقرييَن، إضافة لتطويرات من لحق بهما من عباقرة الرياضيات أمثال ريمان وليبكـ.

يندر أن تجد اليوم نموذج رياضي يخلو من التفاضل والتكامل فكل تغيير لحظي يُعبر عنه على إنه عملية تفاضل لمتغير معتمد بالنسبة لتغير مستقل.

المعادلة الرابعة: قانون الجاذبية لنيوتن

“قوة الجذب بين جسمين تتناسب طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسياً مع مربع البعد بينهما” هذا القانون الذي تحتكم له كل حركات الأجسام سواء كانت أجرام سماوية أم كرة تتدحرج على سطح مائل. حيث تمثل الرموز في المعادلة m1 , m2 كتلتي الجسمين المتجاذبين وr البعد بينهما (لو استدار أحدهما على الأخر فإن r ستمثل نصف القطر للدائرة المتكونة من حركته) وG هو ثابت الجاذبية الذي قام بحسابه نيوتن معتمداً على أعمال من سبقوه وبطليعتهم يوهانس كيبلر، والأرصاد المتوفرة حينها.

تكمن أهمية هذا القانون إنه وبإدخال التفاضل والتكامل عليه بإمكانه أن يصف حركة الكون من حولنا، وبالرغم من إن نظرية أينشتاين النسبية العامة أعطت مفهوماً مغايراً للجاذبية وقدمت تنبؤات أدق من تنبؤات نيوتن إلا أن هذا القانون لازال يُستخدم في عملية توجيه المركبات الفضائية وحساب مساراتها وحساب مسارات الأقمار الصناعية.

ما تعنيه هذه المعادلة القصيرة والأنيقة إن جذر العدد السالب هو عدد تخيلي لاوجود له على خط الأعداد الحقيقية، يمكن تخيل الأعداد التخيلية على شكل محور عمودي على خط الأعداد الحقيقية تمثل وحداته i مضروبة في عدد حقيقي، وبذا تكون مجموعة الأعداد التخيلية عبارة عن نقاط على مستوي يمثل محوره الأفقي الأعداد الحقيقية والمحور العمودي الأعداد التخيلية.

تاريخياً أول من اقترح الأعداد التخيلية هو الرياضياتي المقامر الشهير جيرولامو كاردانو، ثم توسعت على يد رافائيل بومبيلي وجون واليس. تكمن أهمية الأعداد التخيلية حسب ستيورت بأنها أساس معظم التكنولوجيا الحديثة من الإضاءة الكهربائية إلى الكاميرات الرقمية. وتكمن أهميتها المعاصرة في الهندسة الكهربائية وفي التحليل التخيلي في الرياضيات.

المعادلة السادسة: صيغة اويلر للاشكال متعددة السطوح

تختصر هذه الصيغة الرياضية الكثير من مزايا الأشكال متعددة السطوح، وهي أجسام صلدة، مغلقة، و مؤلفة من تجمع سطوح منتظمة ثنائية الأبعاد، أشهَر أمثلتها المكعب. ويمثل V في المعادلة عدد القمم، E تمثل عدد الحافات، وF تمثل عدد الوجوه. لو اخذنا المكعب كمثال، فله ٨ قمم، ١٢ حافة، و ٦ وجوه، بالتالي ٨-١٢+٦=٢، تماماً كما تتوقع الصيغة. كان العالم ليونارد أويلر أول من طرحها بشكلها الحالي لكنه ليس أول من قدم إثبات لها. لهذه الصيغة تطبيقات عديدة في تموضع الدائرات الكهربائية الدقيقة في الاجهزة الالكترونية وفي دراسة شكل الكون.

المعادلة السابعة: التوزيع الطبيعي

لو أخذت قطعة نقد ثم رميتها عدد كبير من الرميات فمن الطبيعي أن تخمن إن عدد وجوه الكتابة سيكون نصف الرميات أو عدد قريب منه، لكن بما إن العملية عشوائية فهناك احتمال أن تحصل بكل مرة على وجه الكتابة! كما إن هنالك احتمالية لأن لاتحصل على وجه كتابة نهائياً. الحقيقة هناك احتمال معين لأن تصل على أي عدد من وجوه الكتابة وتتوزع هذه الإحتمالية على شكل منحنى جرسي حيث تكون الإحتمالية الأكبر للحصول على نصف عدد التجربة وتقل الإحتمالية إذا أردت أن تحصل على عدد أكبر أو أصغر من النصف، وجد إبراهام ديموافر في القرن الثامن عشر إن هذا التوزيع يقترب من منحني أملس ناعم (منحني أملس في الرياضيات يعني إنه منحني قابل للإشتقاق في كل نقاطه) وقام ديموافر بحساب دالة هذا المنحني لتشكل التوزيع الطبيعي أو التوزيع الجرسي. الغريب في الأمر إن التوزيع الطبيعي اليوم يطلق عليه توزيع غاوس نسبة لأمير الرياضيات كارل فريدرك غاوس بعدم وفاء كبير لديموافر.

تكمن أهمية هذه المعادلة في دورها المحوري في الإحصاء الحديث ودخولها في العلوم الإنسانية بشكل كبير جداً. كما إن العديد من الظواهر الطبيعية كالحركة البراونية تفسر بالإعتماد على هذا التوزيع.

المعادلة الثامنة: معادلة الموجة

إحدى أهم أركان الفيزياء الكلاسيكية، إنها المعادلة التي تصف حركة الموجة، سواء أكانت موجة كهرومغناطيسية كالضوء أو ميكانيكية كموجات الصوت والسوائل، في حين تصف صيغة معدلة عنها الموجات الكمومية والبلازمية والمرنة في الفيزياء الحديثة. كان جين دالمبرت أول من إشتق هذه المعادلة لدى دراسة الصوتيات عام ١٧٤٦ في بعد واحد، ثم أعقبه أويلر بعد عشر سنوات ليعممها الى ثلاث ابعاد. U تمثل قيمة الموجة، t يمثل الزمان، x يمثل احداثي المكان و c تمثل سرعة الموجة في الوسط.

المعادلة التاسعة: تحويل فورير

تم اكتشافه من قبل الفرنسي جوزيف فورير (1768-1830) وهي إمتداد لعمله الشهير حول معادلة التدفق الحراري، ومعادلة الموجة سابقة الوصف. هذه الدالة مهمة جداً بتحويل بعض الأنماط التي تحدث في الزمن لدالة تردد. وتكمن أهميتها في تسهيلها عملية تحليل هذه الأنماط وتخليص النموذج للظواهر من بعض التشويش غير المرغوب به. وهذا الأمر ضروري جداً في تحليل الإشارة. وهي مستخدمة اليوم على نطاق واسع بضغط الملفات وباستكشاف بنية الجزيئات.

المعادلة العاشرة: معادلة ناڤيير- ستوكس

سميت على أسماء العالمَين الذين توصلا لها، كلاود ناڤيير وجورج ستوكس حيث يتم اشتقاقها من خلال تطبيق قوانين نيوتن على حركة الموائع وبالتالي هي تصف حركة جسيمات الموائع. تشمل تطبيقاتها نواحٍ عدة كحركة أمواج المحيطات والرياح والدم في الشرايين. تدخل أيضاً في تصميم السيارات والطائرات ومحطات توليد الطاقة ودراسة التلوث وغيرها. للأسف لم تحز هذه المعادلة على شهرة شعبية رغم تطبيقاتها العديدة في حياتنا، الاكثر من ذلك أن معهد كلاي للرياضيات خصص جائزة مليون دولار لمن يثبت أن لها حلول دائمة في ثلاث أبعاد أو أن حلولها خالية من ما يسمى المتفردات singularity، فهل تقبل التحدي؟

المعادلة الحادية عشر: معادلة ماكسويل

يصف هذا النظام المتسق من المعادلات العلاقة بين الحقل الكهربائي والحقل المغناطيسي وقد اشتقها جيمس ماكسويل بناء على تجارب مايكل فرداي ليحدثا ثورة كبيرة في الفيزياء، وقد ساهمت كثيراً في وصف الموجات الكهرومغناطيسية مما يجعلها مساهم كبير في كثير من التقنيات المستخدمة اليوم، ألهمت هذه المعادلات ألبرت أينشتاين فلم يخفي إعجابه بعمل ماكسويل حتى نُقل عنه قوله إن الفيزياء لم تنجب إلا زوجين من الأساطين غاليلو ونيوتن من جهة وفرداي.

المعادلة الثانية عشر: القانون الثاني في الديناميكا الحرارية

ربما لا تكفي رفوف من الكتب لوصف أهمية هذا القانون واثره البالغ في فهمنا للكون والحياة. يشير الرمز ds إلى التغير في الانتروبيا، وهي مقياس للفوضى في الأنظمة، وكون هذا التغير أكبر أو يساوي صفر دائماً في الانظمة المغلقة، فهذا يعني أن المصير الحتمي لكوننا هو الفوضى العارمة والموت الحراري لا محالة. كان العالم رادولف كالوسياس هو أول من وضع صيغة هذا القانون عالم ١٨٥٠ ليقرر: لا يمكن أن تنتقل الحرارة تلقائياً من الاجسام الباردة إلى الاجسام الحارة. قد تبدو هذه العبارة بديهية، لكن القانون الأول في الثرموداينمك، وهو قانون حفظ الطاقة، لا يمنع انتقال الحرارة من الجسم البارد إلى الحار، ذلك لان هذا الانتقال يخضع لمبدأ حفظ الطاقة ( الطاقة الحرارية تؤخذ من الجسم البارد إلى الجسم الحار وبالتالي الكمية الكلية لا تتغير) لكننا لا نشهد هذا النوع من الانتقال في حياتنا العملية، وهنا يأتي مفهوم الانتروبيا ليوضح الامر، الانظمة المغلقة تتجه نحو الفوضى وهذا يتحقق فقط عندما تنتقل الحرارة من الجسم الحار إلى البارد فتزداد الفوضى الكلية في الكون.

المعادلة الثالثة عشر: معادلة أينشتاين .. الطاقة تساوي الكتلة في مربع سرعة الضوء

هل إن أينشتاين هو من أكسب معادلته الشهرة، أم إن المعادلة الأكثر أناقة والأغزر معنى في الفيزياء هي التي أكسبت أينشتاين الشهرة؟! لانعرف الحقيقة. لكن ما نعرفه بدقة هو إنه ما ذكر أينشتاين إلا وذكرت معه معادلته الشهيرة حتى لو كان ذاكريه ليسوا فيزيائيين فشهرة المعادلة جعلتها ملصقاً مميزاً على ملابس الشباب الباحث عن التميز.

هذه المعادلة الشهيرة تخبرنا إن المادة والطاقة هما وجهان لنفس قطعة النقد، وهي تنص على إن الطاقة السكونية تساوي الكتلة في مربع سرعة الضوء. وفي حين بالإمكان بسهولة تحويل المادة إلى طاقة على (على سبيل المثال بصدم إلكترون وإلكترون مضاد ينتج عنه فوتونين) ليس من السهل تحويل الطاقة إلى مادة عملياً. لكن أخر الأبحاث تشير إلى أن باحثون من أمبريال كولدج في لندن توصلوا لطريقة يتم فيها تحويل الضوء إلى مجموعة إلكترونات وبوزيترونات مما سيوفر دعماً أخر لمعادلة أينشتاين الشهيرة لو تم تطبيقها.

نشر أينشتاين معادلته هذه بورقة بحثية في عامه المعجز 1905 ذلك العام الذي حل فيه أينشتاين لغز الأثر الكهروضوئي وحلل الحركة البروانية إضافة لوضعه اللمسة الأخيرة على النظرية النسبية الخاصة. كما عزز عمله على النسبية في العام 1915 بتقديمه لنظريته في النسبية العامة بديلاً عن جاذبية نيوتن التقليدية. ومن الطرافة أن أينشتاين لم ينل جائزة نوبل على معادلته الشهيرة التي ارتبطت باسمه إنما نالها على عمله في الأثر الكهروضوئي!

تكمن أهمية المعادلة في أنها غيرت مفهومنا عن الطاقة والكتلة وفتحت أفق جديد في الفيزياء غير من نظرة القرن التاسع عشر التقليدية. كما تستخدم أسس النظرية النسبية اليوم في تعديل التوقيتات عند إرسال الإشارات في نظام تحديد المواقع (GPS).

المعادلة الرابعة عشر: معادلة شرودنجر

وهي معادلة الموجة الأشهر في الميكانيك الكمومي الذي يدرس العالم الصغير كالذرات والجسيمات دون الذرية. الرمز i يمثل وحدة العدد المركب (جذر سالب واحد)، h يمثل ثابت بلانك، بساي تمثل دالة الموجة، H يمثل الهاملتوني. أعلن عنها الفيزيائي أروين شرودنجر عام ١٩٢٦ وهي تصف كيفية تغير حالة النظام الكمومي مع الزمن.

المعادلة الخامسة عشر: أنتروبيا المعلومات لشانون

تستخدم هذه الصيغة التي أتى بها شانون (1916-2001) لتقدير كمية المعلومات في مساحة من البيانات بإستخدام إحتمالية المتغيرات العشوائية المكونة لها. وقد طورها شانون في أعقاب الحرب العالمية الثانية. تكمن أهميتها حسب البروفسور ستيورت صاحب الكتاب في كونها بشرت بعهد المعلوماتية، حيث أطرت كل الأنجازات المعلوماتية من الأقراص المدمجة (CD) إلى الإتصالات الرقمية. وتستخدم إلى حد كبير في الكشف عن أخطاء الترميز في شبكات الأنترنت.

الحلقة السادسة عشر: معادلة الفروق اللوجستية

كان روبرت ماي قد تحصل على دكتوراه من بلده الأم أستراليا قبل أن يلتحق بمعهد برنستون للدراسات المتقدمة حيث بدأ أعماله بتحليل السلوك الديناميكي لبعض معادلات الفروق، وهي نماذج رياضية تصف الحركة بزمن متقطع. كان من أبرز هذه المعادلات وأكثرها ثراء وبساطة على حدٍ سواء، معادلة الفروق اللوجستية. حيث تعتبر هذه المعادلة نموذجاً يصف تقلبات التعداد السكاني لمجتمع بايلوجي محدود الموارد.

في سبعينيات القرن العشرين كانت نيران الثورة التي أشعلها إدورد لورنز في معهد ماسوشستس للتكنولوجيا -وما عرف بعد حين بنظرية الفوضى- كانت هذه الثورة لاتزال في بداياتها حيث كان لجيمس يورك وروبرت مي إسهامهما في فتح أفق جديد في هذه الثورة حيث أشارا إلى وجود هذا النمط من السلوك (السلوك الفوضوي) في أنظمة غير مستمرة الزمن مثل معادلة الفروق اللوجستية. ولجيمس يورك بالتحديد تعود التسمية الأشهر في الرياضيات “الفوضى-Chaos” عبر ورقته البحثية الشهيرة PERIOD THREE IMPLIES CHAOS.

المعادلة السابعة عشر: معادلة بلاك-شولدز

تعد أهم المعادلات في الإقتصاد. تتنبأ بحركة الأسواق الخاصة بما يسمى بالعقود الاختيارية أو الآجلة، وهي عقود تسمح بشراء بضاعة بسعر معين خلال فتره زمنية معينة من خلال دفع مبلغ أولي للبائع يكون بموجبه المشتري مخير في الاستمرار في الشراء أو الانسحاب لكن يكون البائع مجبر على البيع بالسعر المتفق عليه حتى لو تغيرت قيمة البضاعة في السوق في حال قرر المشتري دفع المبلغ ضمن فترة العقد، لكنه يحتفض بالمبلغ الاولي في كل الاحوال. أعلنت عام ١٩٧٣ في ورقة بحثية لفيشر بلاك ومايرون شولدز وانعشت الأسواق العالمية لدقتها العالية حيث كان تقييم قيمة العقود اعتباطياً قبلها، لكن البعض يعزو سبب الازمة العالمية الاخيرة لها أيضاً.

———————-

لتحميل الكتاب: إضغط هنا

المصدر1: إضغط هنا

المصدر2: إضغط هنا

المصدر3: إضغط هنا